Funzioni matematiche stampate in 3D

Nei giorni scorsi al MUSE FabLab abbiamo stampato funzioni matematiche molto complesse con una laureanda in matematica, Annachiara Carraro. Le superfici, essendo “Free Form” e con singolarità multiple sono particolarmente difficoltose da realizzare con tecniche tradizionali e, anche con la nostra Ultimaker, hanno richiesto alcuni accorgimenti per essere prodotte.

Ecco una descrizione della tesi dal titolo:

Superfici nello spazio reale tridimensionale e loro visualizzazione

“La tesi tratta di superfici definite nello spazio reale tridimensionale ponendo particolare attenzione alla concretizzazione, nonchè visualizzazione, dell’oggetto matematico che ci troviamo a studiare. Sono stati utilizzazti alcuni software informatici di visualizzazione grafica; inoltre, è stato possibile adoperare la stampante tridimensionale del museo di scienze naturali Muse di Trento, raggiungendo un livello superiore di concretizzazione dell’oggetto. Da un punto di vista matematico, un modo per ottenere una superficie è da funzioni differenziabili definite in aperti dello spazio reale tridimensionale ed a valori nella retta reale. Il luogo degli zeri di queste funzioni, per esempio, costituisce una superficie dello spazio reale tridimensionale. E’ stato dato particolare rilievo allo studio dei punti, dividendoli in punti regolari di superficie ed in punti singolari di superficie. Si è analizzato il carattere della superficie attorno a tali punti.

Dopo aver condotto lo studio “su carta” ed una visualizzazione virtuale di ciò che si stava analizzando, si è potuto creare il formato compatibile al software di stampa tridimensionale delle stesse superfici, riuscendo quindi a stamparle.

Sono stati ottenuti i seguenti risultati:

Si tratta di una superficie quintica, cioè ottenuta come luogo degli zeri di un polinomio di quinto grado in tre variabili.

Si tratta di una superficie sestica, cioè definita come luogo degli zeri di un polinomio di sesto grado in tre variabili. In realtà questa superficie è famosa: si chiama superficie sestica di Barth. La sua particolarità consiste nel raggiungere un record in termini di singolarità: nello spazio proiettivo complesso possiede 65 punti singolari doppi, il massimo numero possibile per una superficie sestica.

Questa superficie si chiama superficie di Dini: si tratta di una trattrice a cui è stato applicato un moto elicoidale attorno alla propria retta caratteristica; per questo è anche dette superficie elicoidale. Caratterizzare una superficie tramite luogo degli zeri di un polinomio (come abbiamo fatto fino ad ora cioè) significa definire la superficie stessa in forma implicita. La superficie di Dini non ha una definizione in forma implicita, ma in forma parametrica, cioè tramite una funzione iniettiva, infinitamente differenziabile, definita in un aperto, omeomorfo ad un disco, del piano reale ed a valori nello spazio reale tridimensionale. E’ un po al di fuori da quella che la linea generale delle superfici di questa tesi, ma esprime bene le potenzialità della stampante tridimensionale.

In conclusione, come prima accennato, la stampa tridimensionale ha permesso di raggiungere lo scopo ultimo del lavoro: riuscire a toccare con mano ciò che prima si definiva e si studiava tramite le equazioni astratte della matematica.”

Annachiara Carraro

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